Kalkulus Integral Tentu Part 2

Teorema Dasar Kalkulus 

        Yang dimaksud dengan teorema dasar kalkulus adalah suatu teorema yang mendasari kalkulus dan harus diingat secara permanen.

Bukti:

        Karena f kontinu pada selang [a,b], maka f terintegralkan. Andaikan P : a = `x_1<x_2<x_3<...<x_{n-1}<x_n=b` adalah partisi sebarang pada selang [a,b]. Dengan membuat jumlahan yang saling menghapuskan:

`F(b)-F(a)=(F(x_n)-F(x_{n-1}))+(F(x_{n-1})-F(x_{n-2}))+...+(F(x_1)-F(x_0))`

`F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^n(F(x_i)-F(x_{i-1}))`

     Dengan teorema nilai rata-rata untuk turunan, maka terdapat `\overline{x_i}` pada selang bagian `\left[x_i,x_{i-1}\right]` sedemikian hingga berlaku:

`F(x_i)-F(x_{i-1})=F(\overline{x_i})((x_i-x_{i-1})`

                            `=f(\overline{x_i})(\triangle x_i)`

Sehingga, `F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^nf(\overline{x_i})(\triangle x_i)`

Karena ruas kiri berupa konstanta, maka berlaku:

`F(b)-F(a)=\lim_{P\rightarrow0}\oversetn{\underset{i=0}{\;\sum}}f(\overline{x_i})(\triangle x_i)=\int_a^bf(x)dx`

        Teorema dasar kalkulus dapat digunakan untuk memperoleh sifat pendefrensialan integral tentu, yaitu:

Rumus-Rumus Integral Tentu

Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata

a. Teorema Simetri

Telah diketahui bahwa suatu fungsi genap jika f(-x) = f(x), dan ganjil jika f(-x) = - f(x). Untuk fungsi yang demikian berlaku:

(1) `\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx`, jika f fungsi genap

(2) `\int_{-a}^af(x)dx=0`, jika f fungsi ganjil

b. Teorema Periodik

Suatu fungsi adalah periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikiaan sehingga f(x + p) = f(x), untuk semua bilangan real dalam daerah definisi f. Bilangan p adalah periode untuk fungsi periodik tersebut. Jika f suatu periodik dengan periode p, maka:

`\int_{a+p}^{b+p}f(x)dx=\int_a^bf(x)dx`

 c. Teorema Nilai Rata-Rata

Jika f fungsi kontinu pada selang [a,b], maka terdapat suatu c diantara a dan b sedemikian sehingga:

`\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)`

SEKIAN TERIMA KASIH DAN SEMOGA BERMANFAAT UNTUK TEMAN-TEMAN!!