Integral Fungsi Rasional Faktor Kuadrat dan Integral Fungsi Rasional yang memuat Sin x dan Cos x

Definisi Integral Fungsi Rasional Faktor Kuadrat

        Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial `\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac A{ax+b}+\frac{Bx+C}{px^2+qx+r}`, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.

Contoh Soal Integral Fungsi Rasional Faktor Kuadrat

 Definisi Integral Fungsi Rasional yang memuat Sin x dan Cos x

  Fungsi `F\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}`, `g\left(x\right)\ne0`, `f\left(x\right)` dan `g\left(x\right)` memuat fungsi trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan `f\left(x\right)=\sin\left(x\right)` dan `f\left(x\right)=\cos\left(x\right)` tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan Metode Substitusi. Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat `f\left(x\right)=\sin\left(x\right)` atau `f\left(x\right)=\cos\left(x\right)`.

         Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah :

        Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi 𝑥 = 2 arctan 𝑧 sehingga `dx=\frac2{1+z^2}dz`. Selanjutnya sin 𝑥 dan cos 𝑥 disubstitusi ke bentuk variabel z. Karena 𝑥 = 2 arctan 𝑧 maka :

`\tan\left(\frac x2\right)=z`

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain

Dengan rumus jumlah cosinus didapat:

 Dengan rumus jumlah sinus didapat:

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi.

`x=2arc\tan z`, `\sin\left(x\right)=\frac{2z}{1+z^2}`, `\cos\left(x\right)=\frac{1-z^2}{1+z^2}`

 Contoh Soal Integral Fungsi Rasional yang memuat Sin x dan Cos x

SEKIAN TERIMA KASIH DAN SEMOGA BERMANFAAT UNTUK TEMAN-TEMAN!!!

Integral Fungsi Rasional Faktor Linear

 

Definisi Integral Fungsi Rasional Faktor Linear

        Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk `F\left(x\right)\=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}`, dimana `f\left(x\right)`, `g\left(x\right)` adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan `g\left(x\right)``\ne`0. Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan `f\left(x\right)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_nx^n`,`n=1,2,3,...`, sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk `\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}` yang pembilang dan penyebutnya polinom.

        Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut. Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga :

`F\left(x\right)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}`

          = `x^2-3+\frac{\left(14x+1\right)}{x^3+5x}`

`F\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)},g\left(x\right)\ne0`

Langkah-Langkah Menentukan Integral Fungsi Rasional

Contoh Soal Integral Fungsi Rasional

SEKIAN TERIMA KASIH DAN SEMOGA BERMANFAAT UNTUK TEMAN-TEMAN!!!

Teknik Pengintegralan dengan Integral Parsial

 

Definisi Integral Parsial

       Secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x). Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh :

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh :

          Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integral yang berbentuk uv di manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan u dv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan ∫ u dv tersebut. 

Contoh Soal Integral Tak Tentu dan Penyelesaian dengan Integral Parsial

SEKIAN TERIMA KASIH DAN SEMOGA BERMANFAAT UNTUK TEMAN-TEMAN!!! 

Teknik Pengintegralan dengan Substitusi Fungsi Trigonometri

Definisi Teknik Integral Substitusi Fungsi Trigonometri

        Teknik subtitusi fungsi trigonometri merupakan teknik yang digunakan untuk menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk seperti berikut :

    Bentuk integrannya yaitu :

Catatan : Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya diketahui berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu cos t, tan t, cot t, sec t, dan csc t. Hal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari pengintegralan adalah fungsi-fungsi tersebut.

Contoh Soal Integral Tak Tentu dan Penyelesaian dengan Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri

SEKIAN TERIMA KASIH DAN SEMOGA BERMANFAAT UNTUK TEMAN-TEMAN!!! 

Integral Fungsi Trigonometri

    

 Definisi Integral Fungsi Trigonometri

    Integral trigonometri adalah hasil kebalikan dari turunan trigonometri. Integral tak tentu fungsi trigonometri merupakan bentuk integral yang integrannya berbentuk trigonometri dan variabel integrasinya tidak memiliki batas. Karena variabel integrasinya tidak memiliki batasan, maka hasil dari integral tak tentu fungsi trigonometri hanyalah berupa penyelesaian umum yang juga dalam bentuk fungsi trigonometri ditambah sebuah tetapan integrasi yang disimbolkan dengan huruf C.

Bentuk Dasar Integral Fungsi Trigonometri

    Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci, berikut beberapa bentuk dasar integral fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri, yaitu :

        

Kasus dan Contoh Soal Integral Fungsi Trigonometri

        Berdasarkan bentuk dasar integral fungsi triginometri di atas, ada beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri diantaranya, yaitu :

    Jika m bulat positif dan ganjil, maka m diubah menjadi (𝑚 − 1) + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya gunakan kesamaan identitas :

    Contoh Soal :

       

      

    Jika m bilangan bulat positif dan genap, kemudian dapat dilakukan dengan menggunakan identitas :

    Contoh Soal :

      

      

    Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas :

    Contoh Soal :

    Contoh Soal :

    Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n sebarang. Jika n genap/ganjil dan m sebarang gunakan kesamaan :

    Contoh Soal :

    Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu :

    Contoh Soal :

SEKIAN TERIMA KASIH DAN SEMOGA BERMANFAAT UNTUK TEMAN-TEMAN!!!