Matematika: Kalkulus Integral Tentu Part 1

Definisi Integral Tentu

Integral tentu (definite integral) adalah integral yang memiliki batas-batas nilai tertentu, sehingga hasil akhirnya bisa ditentukan secara pasti. Batas-batas nilai itu merupakan nilai variabel dari fungsi yang telah diintegralkan. Dalam Matematika, integral tentu bisa dimanfaatkan untuk mencari luasan di bawah kurva, volume benda putar yang dibatasi oleh titik-titik tertentu, luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertentu, dan masih banyak lainnya. Adapun contoh penulisan integral tentu yaitu :

Seperti halnya garis singgung yang mendasari turunan, masalah luas merupakan dasar untuk pembahasan integral tentu khususnya luas poligon, baik poligon dalam maupun poligon luar yang dapat dibuat pada bidang datar, didasarkan atas rumus luas persegi panjang.

Luas Menurut Poligon Dalam

Sebagai contoh, akan dicari L(P) Luas Daerah datar yang dibatasi oleh kurva `y=f\left(x\right)=x^2`, sumbu –x, garis x = 0 dan x = 2. Pertama dipartisikan selang `0\leq x\leq2` atas selang bagian yang sama dengan panjang `\triangle x=\frac2n`, dan memakai titik-titik `0=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=2`, sehingga :

`x_0=0`

`x_1=0+\triangle\x=\frac2\n=1\left(\frac2\n\right)`

`x_2=0+2\triangle\x=\frac4\n=2\left(\frac2\n\right)`

`x_3=0+3\triangle\x=\frac6\n=3\left(\frac2\n\right)`

`x_n=0+n\triangle x=n\left(\frac2n\right)=2`

Pada gambar tampak bahwa L(P)dalam < L(P)luar

Menurut teorema apit, maka untuk L(PDalam) <L(P) <L(PLuar) didapat L(P)=8/3. Selanjutnya, diambil suatu fungsi f yang terdefinisi pada selang `\left[\a,\b\right]`. Partisikan selang `\left[\a,\b\right]` atas n selang bagian (tidak harus sama panjang) dengan memakai titik-titik `a=x_0<x_1<x_3<...<x_{n-1}<x_n=b`, `\triangle x_i=x_i-x_{i-1}` (jarak antara titik `x_{i-1}` dengan `x_i`). Pada setiap selang bagian (`x_{i-1}`, `x_i`) dipilih titik sebarang (boleh titik ujung), misalnya `\overline{x_i}` sebagai berikut :

Sebuah partisi dari [a,b] dengan 5 selang bagian, jumlah :

`Rp=\sum_{i=0}^nf\left(x_i\right)\triangle x_i` disebut jumlah Rieman dari suatu selang dengan partisi

Dari pembahasan di atas dengan memisalkan `|P|` menyatakan norma `P`, yaitu panjang selang bagian terpanjang dari partisi `P`, maka dapat dibuat definisi sebagai berikut :

Pada lambang `\int_a^bf\left(x\right)dx`, a disebut batas bawah, dan b disebut batas atas dari integral tersebut. Dalam definisi `\int_a^bf\left(x\right)dx`, secara implisit kita menganggap bahwa a<b. Menghilangkan batasan itu dengan definisi-definisi berikut :