Aplikasi Integral Tertentu Luas Daerah Bidang Datar

        

        Integral tertentu dengan berbagai macam sifat-sifatnya yang telah dibahas pada pasal sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan selesaian masalah-masalah praktis dalam kehidupan nyata. Beberapa diantara penggunaan integral yang di bahas dalam bahasan ini adalah menentukan luas suatu luasan, menghitung volume benda pejal, menentukan panjang busur suatu kurva yang telah ditentukan persamaannya, dan menentukan luas permukaan benda putar. Untuk memperjelas masing-masing pembahasan tentang penggunaan integral tertentu, dapat menggunakan beberapa ilustrasi dan gambar yang diharapkan gambar tersebut akan memudahkan pembaca untuk memahaminya. Pembahasan selengkapnya adalah sebagai berikut: 

A. Luas Suatu Luasan 

          Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang XOY dengan persamaan `y=f(x)` atau `x=g(y)` atau `y=f(x),x=g(y)` yang berbatasan dengan sumbu-sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan menjadi luasan positif dan luasan negatif. Luasan positif adalah luasan dengan persamaan `y=f(x)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas sumbu-x atau luasan dengan persamaan `x=g(y)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kanan sumbu-y. Berikut ini gambar luasan positif yang dimaksud.

        Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan `y=f(x)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di bawah sumbu-x atau luasan dengan persamaan `x=g(y)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu-y. Berikut ini gambar luasan negatif tersebut.

          Luasan positif dan negatif sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasan juga dapat terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus, misalnya `y_2=f(x)` dan `y_2=g(x)`. Pembahasan ini diawali dengan menentukan luas luasan menggunakan integral untuk daerah yang dibatasi oleh satu kurv

a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat

Perhatikan gambar luasan dibawah ini!

R sebagaimana terlihat pada gambar adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva `y=f(x)`, `x=a`, `x=b`. Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan dinyatakan dengan:

`A(R)=\int_a^bf(x)dx`

Jika luasan terletak di bawah sumbu-x, maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk:

`A(R)=\int_a^b-f(x)dx=\left|\int_a^bf(x)dx\right|`

Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut:

Luasan R pada gambar di atas dibatasi oleh kurva `x=g(y)`, `y=c`, `y=d`, dan `x=0`. Dengan integral tertentu luasan R yang berada disebelah kanan sumbu-x dinyatakan dalam bentuk:

`A(R)=\int_c^dg(y)dy`

Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu-x, maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan, sehingga diperoleh: 

`A(R)=\int_c^d-g(y)dy=\left|\int_c^dg(y)dy\right|`

b. Daerah antara Dua Kurva 

Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatsanya adalah `y=f(x)` dan `y=g(x)` dengan `f(x)\geq g(x)` pada selang `\left[a,b\right]`. Sepertihalnya luasan yang dibatasi oleh satu kurva, luasan yang dibatasi dua kurva dapat berupa luasan positif dan luasan negatif. Dengan demikian aturan menentukan luasan dengan integral pada luasan yang dibatasi satu kurva juga berlaku untuk luasan yang dibatasi oleh dua kurva. Perhatikan gambar berikut ini. 

`\triangle A\approx(f(x)-g(x))\triangle x`

Sehingga luasan dinyatakan dengan:

`A(R)=\int_a^b(f(x)-g(x))dx`

Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu-x, jika luasannya disebelah kanan sumbu-y , maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan:

`A(R)=\int_c^d(f(y)-g(y))dy`

SEKIAN TERIMA KASIH DAN SEMOGA BERMANFAAT UNTUK TEMAN-TEMAN!!