Integral Tak Wajar

            Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.

        Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar.

 Bentuk `\int_a^bf(x)dx` disebut Integral Tidak Wajar jika:

        Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga (`\infty`). Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.

3.2 Integral tak wajar dengan integran diskontinu 

    a. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b

    Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran     harus ditunjukkan kontinu di x = b - `\varepsilon(\varepsilon\rightarrow0^+)`, sehingga:

    `\int_a^bf(x)dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_a^{b-\varepsilon}f(x)dx` 

    Karena batas atas x = b - `\varepsilon(x\rightarrow b^-)`, maka 

   `\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\rightarrow b^-}\int_a^tf(x)dx`

    b. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a 

    Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu                   integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = a +`\varepsilon(\varepsilon\rightarrow0^+)`,                  sehingga:

    `\int_a^bf(x)dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_{a+\varepsilon}^bf(x)dx` 

    Karena batas bawah x = a + `\varepsilon(x\rightarrow a^-)` maka dapat dinyatakan dalam bentuk       lain: 

    `\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\rightarrow a^+}\int_t^bf(x)dx`

    c. f(x) kontinu di [a,c) `\cup` (c,b] dan tidak kontinu di x = c 

   Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu               integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = c + `\varepsilon` dan x = c -                                             `\varepsilon(\varepsilon\rightarrow0^+)`, sehingga:

   `\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_a^{c-        \varepsilon}f(x)dx+\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_{c-\varepsilon}^bf(x)` 

    Dapat juga dinyatakan dengan 

  `\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\rightarrow b^-}\int_a^tf(x)dx+\lim_{t\rightarrow                              a^+}\int_t^bf(x)dx`

    

3.3 Integral tak wajar dengan batas tak hingga 

    Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya. 

    a. Intergral tak wajar dengan batas atas x = `\infty` 

    Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana variable                tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga        mempunyai selesaian berbentuk.

   `\int_a^\infty f(x)dx=\lim_{t\rightarrow\infty}\int_a^tf(x)dx`

    b. Integral tak wajar dengan batas bawah di x = -`\infty` 

   Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana variable           tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas bawah    tak hingga mempunyai selesaian: 

   `\int_{-\infty}^af(x)dx=\lim_{t\rightarrow-\infty}\int_t^af(x)dx`

    c. Integral tak wajar batas atas x = `\infty` dan batas bawah di x = -`\infty` 

    Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua integral tak            wajar dengan     \int_{-\infty}^\infty f(x)x=\int_{-\infty}^af(x)dx+\int_a^\infty f(x)dx`, sehingga        bentuk penjumlahan integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di               atas, atau diperoleh bentuk: 

    `\int_{-\infty}^\infty f(x)x=\int_{-\infty}^af(x)dx+\int_a^\infty f(x)dx=\lim_{t\rightarrow-            \infty}\int_t^af(x)dx+\lim_{t\rightarrow\infty}\int_a^tf(x)dx`

SEKIAN TERIMA KASIH DAN SEMOGA BERMANFAAT UNTUK TEMAN-TEMAN!!