Aplikasi Integral Tertentu Volume Benda Putar

 

B. Volume Benda Putar 

            Apa yang disebut volume? Kita mulai dengan benda-pejal sederhana yang disebut silinder tegak, empat diantaranya diperlihatkan pada gambar di bawah. Dalam tiap kasus, benda itu dibentuk dengan cara menggerakkan suatu daerah rata (alas) sejauh h dengan arah tegak lurus pada daerah tersebut. Dan dalam tiap kasus, volume benda-pejal didefinisikan sebagai luas alas A dikalikan tinggi h, yakni:

            Berikut perhatikan sebuah benda-pejal yang penampang-penampangnya tegak lurus dengan suatu garis memiliki luas yang diketahui. Khususnya, misalkan garis tersebut adalah sumbu-x dan misalkan bahwa luas penampang pada x adalah A(x) dengan `a\leq x\leq b` (Gambar di bawah sebelah kiri). Kita partisikan interval `\left[a,b\right]` dengan menyisipkan titik-titik `a=x_0<x_1<x_2<...<x_i=b`. Kemudian kita lewatkan bidang-bidang melalui titik-titik ini tegak lurus pada sumbu- , sehingga mengiris benda menjadi lempenganlempengan tipis (Gambar di bawah sebelah kanan). Volume `\triangle V` suatu lempengan kira-kira sama dengan volume suatu silinder, yakni:

(Ingat bahwa `\overline{x_l}` disebut titik sampel, adalah sebarang bilangan dalam interval `\left[x_{i-1},x_i\right]`. Volume V dari benda-pejal dapat diaproksimasikan dengan jumlah Riemann,

`V\approx\sum_{i=1}^nA(\overline{x_l})\triangle x_i`

Ketika norma partisi mendekati nol, diperoleh integral tertentu yang didefinisikan sebagai volume benda-pejal,

`V=\int_a^bA(x)dx`

a. Pemutaran Mengelilingi Sumbu-X

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b. Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu-x. Lintasan kurva karena mengelilingi sumbu-x membentuk bangun berupa benda padat (pejal), yang dapat diiris menjadikan lempengan-lempengan. Volume `\triangle V` suatu lempengan kira-kira sama dengan volume suatu silinder, yakni:

`\triangle V_i=A(\overline{x_l})\triangle x_i`

 Volume V dari benda-pejal dapat diaproksimasikan dengan jumlah Riemann,

`V\approx\sum_{i=1}^nA(\overline{x_l})\triangle x_i`

Ketika norma partisi mendekati nol, diperoleh integral tertentu yang didefinisikan sebagai volume benda-pejal,

`V=\int_a^bA(x)dx`

`V=\int_a^b \pi(y^2)dx= \pi\int_{ a}^{ b} y^2 dx`

Jika R dibatasi oleh dua kurva, yaitu `y_1` = f(x), `y_2` = g(x), x = a, x = b. Dengan `y_1\geq y_2` Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu-x, maka terbentuk benda-pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

`V=\pi\int_a^b(y_1^2\geq y_2^2)dx`

 b. Pemutaran Mengelilingi Sumbu-Y

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh x = f(y), y = c, y = d. Selanjutnya R  diputar mengelilingi sumbu-y. Lintasan kurva akan membentuk bangun berupa benda pejal. Benda tersebut volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu yaitu:

`V=\pi\int_c^d x^2dy`

Jika R dibatasi oleh dua kurva, yaitu `x_1` = f(y), `x_2` = g(y), y = c, y = d. Dengan `x_1\geq x_2`. Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu-y, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

`V=\pi\int_c^d(x_1^2\geq x_2^2)dy`

Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasilkali luas alas (luas lingkaran) dan tinggi tabung. Bila luas alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang `[a,b]`, maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut:  

`V=\int_a^bA(x)dx`

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah metode, yaitu metode cakram, metode cincin dan metode kulit silinder.

 1. Metode Cakram

Misal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x =1 dan x = b diputar terhadap sumbu-x. Volume benda-pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda-pejal tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang `[a,b]`. Misal pusat cakram `(x_0,0)` dan jari-jari r = `f(x_0). Maka luas cakram dinyatakan: 

`A(x_0)=π(f(x_0))^2=πf^2(x_0)`

Oleh karena itu, volume benda putar: 

`V=\int_a^bπ(f(x))^2dx=π\int_a^bπ(f(x))^2dx`

Bagaimana bila grafik fungsi mengelilingi sumbu-y? Apabila grafik fungsi dinyatakan dengan x = g(y), x = 0, y = c, y = d diputar mengelilingi sumbu-y, maka volume benda putar:

`V=\int_a^bπ(g(y))^2dx=π\int_a^bπ(g(y))^2dx`

Bagaimana bila pada dua kurva? Bila daerah yang dibatasi oleh `y=f(x)\geq0`, `y=g(x)\geq0`, `f(x)\geq g(x)` untuk setiap `x\in[a,b]`, x = a, x = b diputar terhadap sumbu-x, maka volume: 

`V=\int_a^b\pi((f(x))^2-(g(x))}^2)dx`

Bila daerah yang dibatasi oleh `x=f(y)\geq0`, `x=g(y)\geq0`, `f(y)\geq g(y)` untuk setiap  `y\in[c,d]`, x = c  dan x = d diputar terhadap sumbu-y, maka volume:

`V=\int_c^d\pi((f(y))^2-(g(y))}^2)dy`

2. Metode Cincin

Metode cincin merupakan metode yang dibentuk oleh hasil putaran persegi panjang terhadap sumbu putaran tertentu (sumbu putaran tidak berimpit dengan sisi persegi panjang), seperti gambar berikut.

Jika r dan R secara berturut-turut merupakan jari-jari dalam dan luar dari cincin dan tmerupakan ketebalan cincin, maka volumenya dapat ditentukan sebagai berikut,

`V=\pi(R^2-r^2)t`

Untuk mengetahui bagaimana konsep ini dapat digunakan untuk menentukan volume benda putar, perhatikan daerah yang dibatasi oleh jari-jari luar R(x) dan jari-jari dalam r(x) seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini. 

Jika daerah tersebut diputar menurut sumbu putar yang diberikan, volume benda putar yang dihasilkan adalah,

`V=\pi\int_a^b[(Rx)^2)-(r(x)^2)]dx`

3. Metode Kulit Silinder

Metode kulit silinder sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram atau metode cincin. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut. Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut `r_1` dan `r_2`, tinggi tabung  h. Maka volume kulit tabung adalah :

`\triangle V=(πr_2+πr_1)h=2πr\triangle r`

dengan: `\frac{r_2+r_1}2=r` (rata-rata, jari-jari); `r_2+r_1=\triangle r`

Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a, x = b diputar mengelilingi sumbu-y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r = x dan dan `\triangle r=\triangle x` tinggi tabung h = f(x). Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah,

`V=\int_a^b2πx f(x)dx`

Misal daerah dibatasi oleh kurva y = f(x), y = g(x), `f(x)\geq g(x)`, `x\in[a,b]`, x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu-y. Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan,

`V=\int_a^b2πx(f(x)-g(x))dx`

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan x = f(x), x = 0, y = c, y = d diputar mengelilingi sumbu-x. Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan,

`V=\int_c^d2πy f(y)dy`

Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh x = f(x), x = g(y), `f(y)\geq g(y)`, `y\in[c,d]`, y = c, y = d diputar mengelilingi sumbu-x. Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan,

`V=\int_c^d2πy(f(y)-g(y))dy`

SEKIAN TERIMA KASIH DAN SEMOGA BERMANFAAT UNTUK TEMAN-TEMAN!!