Matematika: Integral Fungsi Rasional Faktor Kuadrat dan Integral Fungsi Rasional yang memuat Sin x dan Cos x

Definisi Integral Fungsi Rasional Faktor Kuadrat

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial `\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac A{ax+b}+\frac{Bx+C}{px^2+qx+r}`, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.

Contoh Soal Integral Fungsi Rasional Faktor Kuadrat

Definisi Integral Fungsi Rasional yang memuat Sin x dan Cos x

Fungsi `F\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}`, `g\left(x\right)\ne0`, `f\left(x\right)` dan `g\left(x\right)` memuat fungsi trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan `f\left(x\right)=\sin\left(x\right)` dan `f\left(x\right)=\cos\left(x\right)` tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan Metode Substitusi. Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat `f\left(x\right)=\sin\left(x\right)` atau `f\left(x\right)=\cos\left(x\right)`.

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah :

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi 𝑥 = 2 arctan 𝑧 sehingga `dx=\frac2{1+z^2}dz`. Selanjutnya sin 𝑥 dan cos 𝑥 disubstitusi ke bentuk variabel z. Karena 𝑥 = 2 arctan 𝑧 maka :

`\tan\left(\frac x2\right)=z`

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri