Integral Tak Wajar

            Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.

        Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar.

 Bentuk `\int_a^bf(x)dx` disebut Integral Tidak Wajar jika:

        Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga (`\infty`). Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.

3.2 Integral tak wajar dengan integran diskontinu 

    a. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b

    Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran     harus ditunjukkan kontinu di x = b - `\varepsilon(\varepsilon\rightarrow0^+)`, sehingga:

    `\int_a^bf(x)dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_a^{b-\varepsilon}f(x)dx` 

    Karena batas atas x = b - `\varepsilon(x\rightarrow b^-)`, maka 

   `\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\rightarrow b^-}\int_a^tf(x)dx`

    b. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a 

    Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu                   integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = a +`\varepsilon(\varepsilon\rightarrow0^+)`,                  sehingga:

    `\int_a^bf(x)dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_{a+\varepsilon}^bf(x)dx` 

    Karena batas bawah x = a + `\varepsilon(x\rightarrow a^-)` maka dapat dinyatakan dalam bentuk       lain: 

    `\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\rightarrow a^+}\int_t^bf(x)dx`

    c. f(x) kontinu di [a,c) `\cup` (c,b] dan tidak kontinu di x = c 

   Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu               integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = c + `\varepsilon` dan x = c -                                             `\varepsilon(\varepsilon\rightarrow0^+)`, sehingga:

   `\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_a^{c-        \varepsilon}f(x)dx+\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_{c-\varepsilon}^bf(x)` 

    Dapat juga dinyatakan dengan 

  `\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\rightarrow b^-}\int_a^tf(x)dx+\lim_{t\rightarrow                              a^+}\int_t^bf(x)dx`

    

3.3 Integral tak wajar dengan batas tak hingga 

    Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya. 

    a. Intergral tak wajar dengan batas atas x = `\infty` 

    Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana variable                tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga        mempunyai selesaian berbentuk.

   `\int_a^\infty f(x)dx=\lim_{t\rightarrow\infty}\int_a^tf(x)dx`

    b. Integral tak wajar dengan batas bawah di x = -`\infty` 

   Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana variable           tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas bawah    tak hingga mempunyai selesaian: 

   `\int_{-\infty}^af(x)dx=\lim_{t\rightarrow-\infty}\int_t^af(x)dx`

    c. Integral tak wajar batas atas x = `\infty` dan batas bawah di x = -`\infty` 

    Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua integral tak            wajar dengan     \int_{-\infty}^\infty f(x)x=\int_{-\infty}^af(x)dx+\int_a^\infty f(x)dx`, sehingga        bentuk penjumlahan integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di               atas, atau diperoleh bentuk: 

    `\int_{-\infty}^\infty f(x)x=\int_{-\infty}^af(x)dx+\int_a^\infty f(x)dx=\lim_{t\rightarrow-            \infty}\int_t^af(x)dx+\lim_{t\rightarrow\infty}\int_a^tf(x)dx`

SEKIAN TERIMA KASIH DAN SEMOGA BERMANFAAT UNTUK TEMAN-TEMAN!!

Aplikasi Integral Tertentu Volume Benda Putar

 

B. Volume Benda Putar 

            Apa yang disebut volume? Kita mulai dengan benda-pejal sederhana yang disebut silinder tegak, empat diantaranya diperlihatkan pada gambar di bawah. Dalam tiap kasus, benda itu dibentuk dengan cara menggerakkan suatu daerah rata (alas) sejauh h dengan arah tegak lurus pada daerah tersebut. Dan dalam tiap kasus, volume benda-pejal didefinisikan sebagai luas alas A dikalikan tinggi h, yakni:

            Berikut perhatikan sebuah benda-pejal yang penampang-penampangnya tegak lurus dengan suatu garis memiliki luas yang diketahui. Khususnya, misalkan garis tersebut adalah sumbu-x dan misalkan bahwa luas penampang pada x adalah A(x) dengan `a\leq x\leq b` (Gambar di bawah sebelah kiri). Kita partisikan interval `\left[a,b\right]` dengan menyisipkan titik-titik `a=x_0<x_1<x_2<...<x_i=b`. Kemudian kita lewatkan bidang-bidang melalui titik-titik ini tegak lurus pada sumbu- , sehingga mengiris benda menjadi lempenganlempengan tipis (Gambar di bawah sebelah kanan). Volume `\triangle V` suatu lempengan kira-kira sama dengan volume suatu silinder, yakni:

(Ingat bahwa `\overline{x_l}` disebut titik sampel, adalah sebarang bilangan dalam interval `\left[x_{i-1},x_i\right]`. Volume V dari benda-pejal dapat diaproksimasikan dengan jumlah Riemann,

`V\approx\sum_{i=1}^nA(\overline{x_l})\triangle x_i`

Ketika norma partisi mendekati nol, diperoleh integral tertentu yang didefinisikan sebagai volume benda-pejal,

`V=\int_a^bA(x)dx`

a. Pemutaran Mengelilingi Sumbu-X

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b. Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu-x. Lintasan kurva karena mengelilingi sumbu-x membentuk bangun berupa benda padat (pejal), yang dapat diiris menjadikan lempengan-lempengan. Volume `\triangle V` suatu lempengan kira-kira sama dengan volume suatu silinder, yakni:

`\triangle V_i=A(\overline{x_l})\triangle x_i`

 Volume V dari benda-pejal dapat diaproksimasikan dengan jumlah Riemann,

`V\approx\sum_{i=1}^nA(\overline{x_l})\triangle x_i`

Ketika norma partisi mendekati nol, diperoleh integral tertentu yang didefinisikan sebagai volume benda-pejal,

`V=\int_a^bA(x)dx`

`V=\int_a^b \pi(y^2)dx= \pi\int_{ a}^{ b} y^2 dx`

Jika R dibatasi oleh dua kurva, yaitu `y_1` = f(x), `y_2` = g(x), x = a, x = b. Dengan `y_1\geq y_2` Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu-x, maka terbentuk benda-pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

`V=\pi\int_a^b(y_1^2\geq y_2^2)dx`

 b. Pemutaran Mengelilingi Sumbu-Y

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh x = f(y), y = c, y = d. Selanjutnya R  diputar mengelilingi sumbu-y. Lintasan kurva akan membentuk bangun berupa benda pejal. Benda tersebut volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu yaitu:

`V=\pi\int_c^d x^2dy`

Jika R dibatasi oleh dua kurva, yaitu `x_1` = f(y), `x_2` = g(y), y = c, y = d. Dengan `x_1\geq x_2`. Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu-y, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

`V=\pi\int_c^d(x_1^2\geq x_2^2)dy`

Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasilkali luas alas (luas lingkaran) dan tinggi tabung. Bila luas alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang `[a,b]`, maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut:  

`V=\int_a^bA(x)dx`

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah metode, yaitu metode cakram, metode cincin dan metode kulit silinder.

 1. Metode Cakram

Misal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x =1 dan x = b diputar terhadap sumbu-x. Volume benda-pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda-pejal tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang `[a,b]`. Misal pusat cakram `(x_0,0)` dan jari-jari r = `f(x_0). Maka luas cakram dinyatakan: 

`A(x_0)=π(f(x_0))^2=πf^2(x_0)`

Oleh karena itu, volume benda putar: 

`V=\int_a^bπ(f(x))^2dx=π\int_a^bπ(f(x))^2dx`

Bagaimana bila grafik fungsi mengelilingi sumbu-y? Apabila grafik fungsi dinyatakan dengan x = g(y), x = 0, y = c, y = d diputar mengelilingi sumbu-y, maka volume benda putar:

`V=\int_a^bπ(g(y))^2dx=π\int_a^bπ(g(y))^2dx`

Bagaimana bila pada dua kurva? Bila daerah yang dibatasi oleh `y=f(x)\geq0`, `y=g(x)\geq0`, `f(x)\geq g(x)` untuk setiap `x\in[a,b]`, x = a, x = b diputar terhadap sumbu-x, maka volume: 

`V=\int_a^b\pi((f(x))^2-(g(x))}^2)dx`

Bila daerah yang dibatasi oleh `x=f(y)\geq0`, `x=g(y)\geq0`, `f(y)\geq g(y)` untuk setiap  `y\in[c,d]`, x = c  dan x = d diputar terhadap sumbu-y, maka volume:

`V=\int_c^d\pi((f(y))^2-(g(y))}^2)dy`

2. Metode Cincin

Metode cincin merupakan metode yang dibentuk oleh hasil putaran persegi panjang terhadap sumbu putaran tertentu (sumbu putaran tidak berimpit dengan sisi persegi panjang), seperti gambar berikut.

Jika r dan R secara berturut-turut merupakan jari-jari dalam dan luar dari cincin dan tmerupakan ketebalan cincin, maka volumenya dapat ditentukan sebagai berikut,

`V=\pi(R^2-r^2)t`

Untuk mengetahui bagaimana konsep ini dapat digunakan untuk menentukan volume benda putar, perhatikan daerah yang dibatasi oleh jari-jari luar R(x) dan jari-jari dalam r(x) seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini. 

Jika daerah tersebut diputar menurut sumbu putar yang diberikan, volume benda putar yang dihasilkan adalah,

`V=\pi\int_a^b[(Rx)^2)-(r(x)^2)]dx`

3. Metode Kulit Silinder

Metode kulit silinder sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram atau metode cincin. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut. Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut `r_1` dan `r_2`, tinggi tabung  h. Maka volume kulit tabung adalah :

`\triangle V=(πr_2+πr_1)h=2πr\triangle r`

dengan: `\frac{r_2+r_1}2=r` (rata-rata, jari-jari); `r_2+r_1=\triangle r`

Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a, x = b diputar mengelilingi sumbu-y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r = x dan dan `\triangle r=\triangle x` tinggi tabung h = f(x). Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah,

`V=\int_a^b2πx f(x)dx`

Misal daerah dibatasi oleh kurva y = f(x), y = g(x), `f(x)\geq g(x)`, `x\in[a,b]`, x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu-y. Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan,

`V=\int_a^b2πx(f(x)-g(x))dx`

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan x = f(x), x = 0, y = c, y = d diputar mengelilingi sumbu-x. Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan,

`V=\int_c^d2πy f(y)dy`

Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh x = f(x), x = g(y), `f(y)\geq g(y)`, `y\in[c,d]`, y = c, y = d diputar mengelilingi sumbu-x. Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan,

`V=\int_c^d2πy(f(y)-g(y))dy`

SEKIAN TERIMA KASIH DAN SEMOGA BERMANFAAT UNTUK TEMAN-TEMAN!!

Aplikasi Integral Tertentu Luas Daerah Bidang Datar

        

        Integral tertentu dengan berbagai macam sifat-sifatnya yang telah dibahas pada pasal sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan selesaian masalah-masalah praktis dalam kehidupan nyata. Beberapa diantara penggunaan integral yang di bahas dalam bahasan ini adalah menentukan luas suatu luasan, menghitung volume benda pejal, menentukan panjang busur suatu kurva yang telah ditentukan persamaannya, dan menentukan luas permukaan benda putar. Untuk memperjelas masing-masing pembahasan tentang penggunaan integral tertentu, dapat menggunakan beberapa ilustrasi dan gambar yang diharapkan gambar tersebut akan memudahkan pembaca untuk memahaminya. Pembahasan selengkapnya adalah sebagai berikut: 

A. Luas Suatu Luasan 

          Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang XOY dengan persamaan `y=f(x)` atau `x=g(y)` atau `y=f(x),x=g(y)` yang berbatasan dengan sumbu-sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan menjadi luasan positif dan luasan negatif. Luasan positif adalah luasan dengan persamaan `y=f(x)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas sumbu-x atau luasan dengan persamaan `x=g(y)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kanan sumbu-y. Berikut ini gambar luasan positif yang dimaksud.

        Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan `y=f(x)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di bawah sumbu-x atau luasan dengan persamaan `x=g(y)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu-y. Berikut ini gambar luasan negatif tersebut.

          Luasan positif dan negatif sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasan juga dapat terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus, misalnya `y_2=f(x)` dan `y_2=g(x)`. Pembahasan ini diawali dengan menentukan luas luasan menggunakan integral untuk daerah yang dibatasi oleh satu kurv

a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat

Perhatikan gambar luasan dibawah ini!

R sebagaimana terlihat pada gambar adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva `y=f(x)`, `x=a`, `x=b`. Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan dinyatakan dengan:

`A(R)=\int_a^bf(x)dx`

Jika luasan terletak di bawah sumbu-x, maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk:

`A(R)=\int_a^b-f(x)dx=\left|\int_a^bf(x)dx\right|`

Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut:

Luasan R pada gambar di atas dibatasi oleh kurva `x=g(y)`, `y=c`, `y=d`, dan `x=0`. Dengan integral tertentu luasan R yang berada disebelah kanan sumbu-x dinyatakan dalam bentuk:

`A(R)=\int_c^dg(y)dy`

Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu-x, maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan, sehingga diperoleh: 

`A(R)=\int_c^d-g(y)dy=\left|\int_c^dg(y)dy\right|`

b. Daerah antara Dua Kurva 

Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatsanya adalah `y=f(x)` dan `y=g(x)` dengan `f(x)\geq g(x)` pada selang `\left[a,b\right]`. Sepertihalnya luasan yang dibatasi oleh satu kurva, luasan yang dibatasi dua kurva dapat berupa luasan positif dan luasan negatif. Dengan demikian aturan menentukan luasan dengan integral pada luasan yang dibatasi satu kurva juga berlaku untuk luasan yang dibatasi oleh dua kurva. Perhatikan gambar berikut ini. 

`\triangle A\approx(f(x)-g(x))\triangle x`

Sehingga luasan dinyatakan dengan:

`A(R)=\int_a^b(f(x)-g(x))dx`

Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu-x, jika luasannya disebelah kanan sumbu-y , maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan:

`A(R)=\int_c^d(f(y)-g(y))dy`

SEKIAN TERIMA KASIH DAN SEMOGA BERMANFAAT UNTUK TEMAN-TEMAN!!

Kalkulus Integral Tentu Part 2

Teorema Dasar Kalkulus 

        Yang dimaksud dengan teorema dasar kalkulus adalah suatu teorema yang mendasari kalkulus dan harus diingat secara permanen.

Bukti:

        Karena f kontinu pada selang [a,b], maka f terintegralkan. Andaikan P : a = `x_1<x_2<x_3<...<x_{n-1}<x_n=b` adalah partisi sebarang pada selang [a,b]. Dengan membuat jumlahan yang saling menghapuskan:

`F(b)-F(a)=(F(x_n)-F(x_{n-1}))+(F(x_{n-1})-F(x_{n-2}))+...+(F(x_1)-F(x_0))`

`F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^n(F(x_i)-F(x_{i-1}))`

     Dengan teorema nilai rata-rata untuk turunan, maka terdapat `\overline{x_i}` pada selang bagian `\left[x_i,x_{i-1}\right]` sedemikian hingga berlaku:

`F(x_i)-F(x_{i-1})=F(\overline{x_i})((x_i-x_{i-1})`

                            `=f(\overline{x_i})(\triangle x_i)`

Sehingga, `F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^nf(\overline{x_i})(\triangle x_i)`

Karena ruas kiri berupa konstanta, maka berlaku:

`F(b)-F(a)=\lim_{P\rightarrow0}\oversetn{\underset{i=0}{\;\sum}}f(\overline{x_i})(\triangle x_i)=\int_a^bf(x)dx`

        Teorema dasar kalkulus dapat digunakan untuk memperoleh sifat pendefrensialan integral tentu, yaitu:

Rumus-Rumus Integral Tentu

Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata

a. Teorema Simetri

Telah diketahui bahwa suatu fungsi genap jika f(-x) = f(x), dan ganjil jika f(-x) = - f(x). Untuk fungsi yang demikian berlaku:

(1) `\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx`, jika f fungsi genap

(2) `\int_{-a}^af(x)dx=0`, jika f fungsi ganjil

b. Teorema Periodik

Suatu fungsi adalah periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikiaan sehingga f(x + p) = f(x), untuk semua bilangan real dalam daerah definisi f. Bilangan p adalah periode untuk fungsi periodik tersebut. Jika f suatu periodik dengan periode p, maka:

`\int_{a+p}^{b+p}f(x)dx=\int_a^bf(x)dx`

 c. Teorema Nilai Rata-Rata

Jika f fungsi kontinu pada selang [a,b], maka terdapat suatu c diantara a dan b sedemikian sehingga:

`\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)`

SEKIAN TERIMA KASIH DAN SEMOGA BERMANFAAT UNTUK TEMAN-TEMAN!!