Kalkulus Integral Tentu Part 1

Definisi Integral Tentu

    Integral tentu (definite integral) adalah integral yang memiliki batas-batas nilai tertentu, sehingga hasil akhirnya bisa ditentukan secara pasti. Batas-batas nilai itu merupakan nilai variabel dari fungsi yang telah diintegralkan. Dalam Matematika, integral tentu bisa dimanfaatkan untuk mencari luasan di bawah kurva, volume benda putar yang dibatasi oleh titik-titik tertentu, luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertentu, dan masih banyak lainnya. Adapun contoh penulisan integral tentu yaitu :

    Seperti halnya garis singgung yang mendasari turunan, masalah luas merupakan dasar untuk pembahasan integral tentu khususnya luas poligon, baik poligon dalam maupun poligon luar yang dapat dibuat pada bidang datar, didasarkan atas rumus luas persegi panjang.

Luas Menurut Poligon Dalam

     Sebagai contoh, akan dicari L(P) Luas Daerah datar yang dibatasi oleh kurva `y=f\left(x\right)=x^2`, sumbu –x, garis x = 0 dan x = 2. Pertama dipartisikan selang `0\leq x\leq2` atas selang bagian yang sama dengan panjang `\triangle x=\frac2n`, dan memakai titik-titik `0=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=2`, sehingga :

`x_0=0`

`x_1=0+\triangle\x=\frac2\n=1\left(\frac2\n\right)`

`x_2=0+2\triangle\x=\frac4\n=2\left(\frac2\n\right)`

`x_3=0+3\triangle\x=\frac6\n=3\left(\frac2\n\right)`

.

.

.

`x_n=0+n\triangle x=n\left(\frac2n\right)=2`

Pada gambar tampak bahwa L(P)dalam < L(P)luar

  Menurut teorema apit, maka untuk L(PDalam) <L(P) <L(PLuar) didapat L(P)=8/3. Selanjutnya, diambil suatu fungsi f yang terdefinisi pada selang `\left[\a,\b\right]`. Partisikan selang `\left[\a,\b\right]` atas n selang bagian (tidak harus sama panjang) dengan memakai titik-titik `a=x_0<x_1<x_3<...<x_{n-1}<x_n=b`, `\triangle x_i=x_i-x_{i-1}` (jarak antara titik `x_{i-1}` dengan `x_i`). Pada setiap selang bagian (`x_{i-1}`, `x_i`) dipilih titik sebarang (boleh titik ujung), misalnya `\overline{x_i}` sebagai berikut :

Sebuah partisi dari [a,b] dengan 5 selang bagian, jumlah :

`Rp=\sum_{i=0}^nf\left(x_i\right)\triangle x_i` disebut jumlah Rieman dari suatu selang dengan partisi

      Dari pembahasan di atas dengan memisalkan `|P|` menyatakan norma `P`, yaitu panjang selang bagian terpanjang dari partisi `P`, maka dapat dibuat definisi sebagai berikut :

       Pada lambang `\int_a^bf\left(x\right)dx`, a disebut batas bawah, dan b disebut batas atas dari integral tersebut. Dalam definisi `\int_a^bf\left(x\right)dx`, secara implisit kita menganggap bahwa a<b. Menghilangkan batasan itu dengan definisi-definisi berikut :

Sifat-Sifat Integral Tentu

Contoh Soal Integral Tentu

SEKIAN TERIMA KASIH DAN SEMOGA BERMANFAAT UNTUK TEMAN-TEMAN!!!

Notasi Sigma

 

Definisi Notasi Sigma

       Notasi sigma adalah bentuk penulisan untuk meringkas penjumlahan suku-suku di dalam suatu deret. Tentunya, suku-suku tertentu mewakili pola tertentu. Dengan kata lain, tidak boleh sembarang suku dengan pola acak. Secara matematis, sigma dilambangkan sebagai Σ (bukan E). Lambang itu diambil dari abjad Yunani, yaitu S (kapital). Pada zaman itu, para ilmuwan Yunani menggunakan istilah SUM untuk menjumlahkan data-data hasil penelitian mereka. Itulah mengapa, arti sigma dalam Matematika identik dengan operator penjumlahan.

Penulisan Sigma

Perhatikan jumlah :

`1^2+2^2+3^2+...+100^2`

dan

`a_1+a_2+a_3+...+a_n`

untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang kompak, kita tuliskan yang pertama sebagai

`\sum_{\mathcal i=1}^{100}\mathcal i^2`

dan yang kedua sebagai

`\sum_{\mathcal i=1}^n\alpha_{\mathcal i}`

disini Σ (huruf kapital sigma Yunani), yang berpadanan dengan huruf capital S, menyarankan kepada kita untuk menjumlahkan (menambahkan) semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan selama indeks i terus meningkat seiring peningkatan bilangan bulat positif, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan di bawah tanda dan berakhir dengan bilangan yang di atas tanda tersebut. Sehingga :

`\sum_{\mathcal i=2}^5b_{\mathcal i}=b_2+b_3+b_4+b_5`

`\sum_{\mathcal j=1}^{\mathcal n}\frac1{\mathcal j}=\frac11+\frac12+\frac13+...+\frac1{\mathcal n}`

`\sum_{\mathcal k=1}^4\frac{\mathcal k}{\mathcal k^2+1}=\frac1{1^2+1}+\frac1{2^2+1}+\frac1{3^2+1}+\frac1{4^2+1}`

dan, untuk `\mathcal n\geq\mathcal m`

`\sum_{\mathcal i=\mathcal m}^{\mathcal n}F(\mathcal i)=F(\mathcal m)+F(\mathcal m+1)+F(\mathcal m+2)+...+F(\mathfrak n)`

Jika semua c dalam `\sum_{i=1}^nc_i` mempunyai nilai sama, katakan c, maka :

`\sum_{i=1}^nc_i=\underbrace{c+c+c+...+c}_{n\;suku}=nc`

Sebagai suatu hasil, kita terima perjanjian

`\sum_{i=1}^nc_i=nc`

Khususnya,

`\sum_{i=1}^52=5(2)=10`

`\sum_{i=1}^{100}(-4)=100(-4)=-400`

`\sum_{j=0}^2x^3=x^3+x^3+x^3`

        Suatu jumlah dapat dituliskan dalam lebih dari satu cara dengan notasi sigma melalui pengubahan batas-batas jumlah.

Perubahan Indeks Jumlah

        Terkadang dalam menentukan jumlah dengan notasi sigma, kita ingin menganti indeks jumlah dengan indeks jumlah yang lainnya. Berikut ini diberikan satu contoh illustrasi bahwa hal ini mungkin dilakukan.

Sifat-Sifat Sigma

     Sifat-Sifat Sigma dianggap sebagai operator, Σ beroperasi pada barisan dan operator itu melakukannya secara linear.

Beberapa Jumlah Khusus

        Pada bagian ini, kita akan meninjau jumlah dari bilangan bulat positif yang pertama, seperti halnya jumlah kuadrat-kuadratnya, pangkat tiganya, dan seterusnya. Beberapa dari masalah ini mempunyai rumus-rumus jumlah suku ke- yang cukup manis. Deret-deret tersbut diantaranya yaitu :

SEKIAN TERIMA KASIH DAN SEMOGA BERMANFAAT UNTUK TEMAN-TEMAN!!!

Integral Fungsi Rasional Faktor Kuadrat dan Integral Fungsi Rasional yang memuat Sin x dan Cos x

Definisi Integral Fungsi Rasional Faktor Kuadrat

        Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial `\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac A{ax+b}+\frac{Bx+C}{px^2+qx+r}`, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.

Contoh Soal Integral Fungsi Rasional Faktor Kuadrat

 Definisi Integral Fungsi Rasional yang memuat Sin x dan Cos x

  Fungsi `F\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}`, `g\left(x\right)\ne0`, `f\left(x\right)` dan `g\left(x\right)` memuat fungsi trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan `f\left(x\right)=\sin\left(x\right)` dan `f\left(x\right)=\cos\left(x\right)` tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan Metode Substitusi. Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat `f\left(x\right)=\sin\left(x\right)` atau `f\left(x\right)=\cos\left(x\right)`.

         Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah :

        Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi 𝑥 = 2 arctan 𝑧 sehingga `dx=\frac2{1+z^2}dz`. Selanjutnya sin 𝑥 dan cos 𝑥 disubstitusi ke bentuk variabel z. Karena 𝑥 = 2 arctan 𝑧 maka :

`\tan\left(\frac x2\right)=z`

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain

Dengan rumus jumlah cosinus didapat:

 Dengan rumus jumlah sinus didapat:

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi.

`x=2arc\tan z`, `\sin\left(x\right)=\frac{2z}{1+z^2}`, `\cos\left(x\right)=\frac{1-z^2}{1+z^2}`

 Contoh Soal Integral Fungsi Rasional yang memuat Sin x dan Cos x

SEKIAN TERIMA KASIH DAN SEMOGA BERMANFAAT UNTUK TEMAN-TEMAN!!!

Integral Fungsi Rasional Faktor Linear

 

Definisi Integral Fungsi Rasional Faktor Linear

        Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk `F\left(x\right)\=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}`, dimana `f\left(x\right)`, `g\left(x\right)` adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan `g\left(x\right)``\ne`0. Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan `f\left(x\right)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_nx^n`,`n=1,2,3,...`, sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk `\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}` yang pembilang dan penyebutnya polinom.

        Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut. Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga :

`F\left(x\right)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}`

          = `x^2-3+\frac{\left(14x+1\right)}{x^3+5x}`

`F\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)},g\left(x\right)\ne0`

Langkah-Langkah Menentukan Integral Fungsi Rasional

Contoh Soal Integral Fungsi Rasional

SEKIAN TERIMA KASIH DAN SEMOGA BERMANFAAT UNTUK TEMAN-TEMAN!!!